Punti di massimo e minimo

Punti di massimo e di minimo
DEFINIZIONE: | Si dice massimo (minimo) di una funzione f il più grande (piccolo) dei valori che essa assume.
Il massimo e il minimo vengono spesso detti anche massimo assoluto o minimo assoluto
DEFINIZIONE: | si dice che x0ÎDf è un punto di massimo (minimo) locale o relativo per la funzione f se esiste un intorno Ix0 di x0 tale che: f(x)f(x0) ( f(x) f(x0) ) x Î Ix0 Df
Ricordiamo i seguenti teoremi:
(1) TEOREMA DI ROLLE
(2) TEOREMA DI WEIERSTRASS
(3) TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI
(4) TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO
(5) TEOREMA: Nei punti di massimo o minimo locali di una funzione derivabile che siano interni al dominio la derivata è nulla.

Per trovare i massimi e minimi prendiamo in considerazione:
1) tutti i punti massimi e minimi locali, dove f'(x0)=0 ;
2) eventuali punti angolosi;
3) estremi dell'intervallo.
Confrontandoli troviamo così il massimo e minimo assoluto.

CONDIZIONE NECESSARIA
Se f(x) è derivabile , affinchè un punto sia di massimo o di minimo locale deve essere: f'(x)=0
Dunque si tratterà di risolvere tale equazione per determinare possibili punti di massimo o di minimo locale.
I valori xi che la soddisfano sono solo probabili punti di massimo o minimo locale, in quanto potrebbero anche essere punti di flesso.
I punti in cui si annulla la derivata prima si dicono punti stazionari o punti critici.
Per sapere se questi sono punti di massimo di minimo per la curva si può procedere in 2 modi:

1°METODO:

Si studia il segno della derivata prima, studiando la disequazione f'(x)>0
Il calcolo della derivata prima serve per determinare gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce, facendoci comprendere se i punti trovati sono di massimo o di minimo.
I punti di massimo sono quelli t.c. f'(xi)=0 mentre f'(x)>0 a sinistra di xi e f'(x)<0 a destra;
I punti di minimo sono quelli t.c. f'(xi)=0 con f'(x)<0 a sinistra di xi e ,f'(x)>0 a destra.
Invece se la derivata nell'intorno di tali punti non cambia di segno, questi non sono nè di massimo nè di minimo.

2°METODO:

Si sostituiscono le ascisse dei punti xi nella derivata seconda e si guarda il segno che questa assume.
Il calcolo della derivata seconda serve per determinare gli intervalli in cui la curva è concava o convessa:
se f''(xi)>0 allora la concavità sarà rivolta verso l'alto perciò il punto è di minimo ;
se f''(xi)<0 allora la concavità sarà rivolta verso il basso perciò il punto è di massimo;
se f''(xi)=0 allora non possiamo concludere nulla.

CALCOLO DELLE ORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI MASSIMO E MINIMO LOCALE Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di massimo o di minimo nell'equazione della curva e ricavare l'ordinata. E' utile riportare con un segno i risultati sul grafico.

OSSERVAZIONI
1) Se si somma una costante alla funzione y=f(x) la funzione y=f(x)+c ha negli stessi punti x i massimi e i minimi assoluti.
2) Se si moltiplica per una costante positiva y=f(x) la funzione y=cf(x) ha negli stessi punti x i massimi e i minimi assoluti.
3) Se f(x)>0 per qualsiasi xÎI e consideriamo y=1/f(x) la funzione y=f(x) ha il massimo assoluto dove y=1/f(x) ha il minimo assoluto e viceversa.
4) Se e solo se f(x)>0 xÎI si ha che y=f(x) e y=[f(x)]n hanno negli stessi punti x i massimi e i minimi assoluti.

Esempi | Esercizi