Ricerca dei flessi

Flessi
Sia f una funzione derivabile in ] a,b[ quante volte occorre. Sia dato un punto x0Î] a,b[ e sia P0(x0, f(x0)) il punto corrispondente sulla curva del grafico di f.
DEFINIZIONE: | si dice che la funzione è convessa (o che volge la concavità verso l'alto) nel punto x0 se esiste un intorno Ix0 in cui il grafico non è mai al di sotto della retta t tangente al grafico nel punto P0.
Poichè l'equazione della retta t tangente è y =f(x0)+f'(x0)(x-x0), la funzione è convessa in x0 se f(x)f (x0)+f'(x0) (x-x0) xÎI
DEFINIZIONE: | si dice che la funzione f è concava (o che volge la concavità verso il basso) nel punto x0 se esiste un intorno Ix0 in cui il grafico non è mai al di sopra della retta t tangente al grafico nel punto P0.
La funzione sarà quindi concava in x0 se f(x)f(x0)+f'(x0) (x-x0) xÎI

DEFINIZIONE:

si dice che nel punto P0 la curva ha un punto di flesso se in tale punto essa attraversa la tangente t in P0,cioè nell'intorno sinistro di x0 la curva si trova al di sotto della retta tangente t e nell'intorno destro si trova al di sopra di t o viceversa.

Per definizione i punti di flesso sono quei punti in cui la curva cambia concavità passando da concava a convessa (o viceversa) con continuità;
di conseguenza la funzione f''(x) passerà da un valore positivo ad uno negativo (o viceversa) con continuità quindi per il teorema dei valori intermedi ci sarà un punto in cui f''(x) =0

Introduciamo pertanto il calcolo della derivata seconda ed enunciamo i seguenti teoremi:
TEOREMA (1) a.Se f''(x0)>0 la funzione è convessa in x0; b.Se f''(x0)<0 la funzione è concava in x0; c.Se f''(x0) =0 e f'''(x0) ¹0 la curva ha nel punto P0(x0,f(x0)) un flesso.
TEOREMA (2) a.Se in x0Î]a,b[ f'(x0) =0 e f''(x0) =0 e f'''(x0)>0 allora x0 è un punto di flesso ascendente b.Se in x0Î]a,b[ f'(x0) =0 e f''(x0) =0 e f'''(x0)<0 allora x0 è un punto di flesso discendente
CALCOLO DELLE ORDINATE DEGLI EVENTUALI PUNTI DI FLESSO Basta sostituire una alla volta le ascisse dei punti di flesso nell'equazione della curva e ricavare l'ordinata corrispondente.

TEOREMA (3)
Nell'ipotesi che sia
f''(x0) = f'''(x0) = ... = f (n-1)(x0) = 0 e f n(x0)¹0
si possono presentare i seguenti casi:
a. n pari, f n(x0)>0 allora f è convessa in x0;
n pari, f n(x0)<0 allora f è concava in x0;
b. n dispari, allora la funzione ha un flesso nel punto di ascissa x0.

Per quanto visto fin'ora e per quanto detto sui punti di massimo e minimo il seguente teorema riassume, generalizzandoli i teoremi già visti.

TEOREMA (4)
Se nel punto x0Î]a,b[ sono veificate le seguenti condizioni:
f'(x0) = f''(x0) = ... = f (n-1)(x0) =0 e f n(x0)¹0
si avrà uno dei seguenti casi:
a.se n è pari, f n(x0)>0 allora il punto x0 è di minimo locale;
se n è pari, f n(x0)<0 allora il punto x0 è punto di massimo locale;
a.se n è dispari, f n(x0)>0 allora il punto x0 è ascissa di un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente;
se n è dispari, f n(x0)<0 allora il punto x0 è ascissa di un punto di flesso a tangente orizzontale discendente.

Da esso si deduce un metodo, detto metodo delle derivate successive ,per la determinazione dei massimi e dei minimi e dei flessi a tangente orizzontale di una funzione.
Tale metodo consiste nel calcolare le soluzioni dell'equazione f'(x) =0 e,indicate con x0 una di esse,nel calcolare poi la derivata seconda f''(x).
Si possono presentare allora i seguenti casi:

METODO DELLE DERIVATE SUCCESSIVE
1°CASO: f''(x0)¹0 | allora x0 è un punto di massimo o minimo locale a seconda che sia f''(x0)<0 o f''(x0)>0

2°CASO:
f''(x0) =0

in tal caso si calcola la derivata terza f'''(x0); se poi f'''(x0) ¹0, allora x0 è ascissa di un punto di flesso a tangente orizzontale ascendente o discendente a seconda che risulti f'''(x0)>0 o f'''(x0)<0 .
Se invece anche f'''(x0) =0 si passa a calcolare le derivate successive in x0. Il procedimento si arresta se si incontra una derivata che non si annulla in x0.
Se essa è di ordine pari si cadrà nel 1°CASO, mentre se è di ordine dispari avremo un flesso (come per f'''(x0) ¹0).

Esempio

Esercizi